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橫截面為圓形的直桿受扭時(shí)的應(yīng)力，需要綜合研究幾何、物理和靜力等三方面的關(guān)系。以下是我們研究的一個(gè)思路。

確定橫截面上切應(yīng)力的方法與過(guò)程

一、變形幾何關(guān)系

在軸表面作圓周線和縱向線，在扭轉(zhuǎn)力偶矩作用下，圓周線長(zhǎng)度形狀不變，各圓周線間距離不變，只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個(gè)微小角度；縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)微小角度。變形如圖所示。

圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，形狀和大小不變，半徑仍保持直線，且相鄰兩截面間的距離不變。

二、物理關(guān)系

這里需要注意，一定要在線彈性范圍內(nèi)。接下來(lái)研究用到了切變模量、切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律等知識(shí)。

1、變形協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力分布規(guī)律

設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)ρ 處的剪應(yīng)變?yōu)?em style="max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word;">γ(ρ)，則有如下幾何關(guān)系：

式中，dφ/dx 為扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。

距圓心為ρ 任一點(diǎn)處的γρ、τρ 與到圓心的距離ρ 成正比。

2、物性關(guān)系——剪力胡克定律

至此，我們已經(jīng)求出了切應(yīng)力的表達(dá)式，但是扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向的變化率還不知道。這就需要靜力學(xué)方程來(lái)解決了。

三、列靜力學(xué)方程

微分面積：

dA 上的微內(nèi)力對(duì)圓心的力矩：

對(duì)上式進(jìn)行積分（扭矩定義）：

橫截面上的扭矩應(yīng)與截面一側(cè)的外力偶距相平衡

我們引入一個(gè)極慣性矩

式中，Ip 為橫截面對(duì)形心的極慣性矩（截面二次極矩，單位為m⁴）。

在圓截面邊緣上有最大切應(yīng)力：

令

抗扭截面系數(shù)（單位：m3）

公式適用條件：

• 圓桿；

  
  

• τmax≤τp。

其中極慣性矩和抗扭截面系數(shù)，在實(shí)心軸與非實(shí)心軸中的計(jì)算是不一樣的。

• 在實(shí)心軸的情況下：

其中，D 為圓截面直徑。

以上就是完整的求圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力的方法和過(guò)程了！

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